Question

已知二次函数f（x）=ax²+x+1．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，2]上是增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若方程f（x）=0有两个实数根x₁，x₂．①求（1+x₁）（1+x₂）的值；②如果

x1

x2

∈[

1

10

，10]，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax²+x+1在[1，2]上是增函数，知a≠0，当a＞0时，1≥-

1

2a

；当a＜0时，-2≤-

1

2a

．由此能求出a的取值范围．
（Ⅱ）①由f（x）=ax²+x+1）=0有两个实数根x₁，x₂．知x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=

1

a

，由此能求出（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁•x₂的值．
②由f（x）=ax²+x+1）=0有两个实数根x₁，x₂．知x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=

1

a

，设

x1

x2

=m∈[

1

10

，10]，则有x₁=m•x₂，故

(m+1)x2=- 1 a mx2 2= 1 a

，a=

m

(m+1)2

=

1

m+2+ 1 m

，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+x+1在[1，2]上是增函数，
∴a≠0，
当a＞0时，1≥-

1

2a

，解得a＞0；
当a＜0时，-2≤-

1

2a

，解得a≥-

1

4

，
综上所述，a的取值范围是：{a|a≥-

1

4

，且a≠0}．
（Ⅱ）①∵f（x）=ax²+x+1）=0有两个实数根x₁，x₂．
∴x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=

1

a

，
∴（1+x₁）（1+x₂）
=1+x₁+x₂+x₁•x₂
=1+（-

1

a

）+

1

a

=1．
②f（x）=ax²+x+1）=0有两个实数根x₁，x₂．
∴x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=

1

a

，
设

x1

x2

=m∈[

1

10

，10]，则有x₁=m•x₂，
∴

(m+1)x2=- 1 a mx2 2= 1 a

，∴a=

m

(m+1)2

=

m

m2+2m+1

=

1

m+2+ 1 m

，
∵m∈[

1

10

，10]，
∴

10

121

≤a=

m

(m+1)2

=

1

m+2+ 1 m

≤

1

2+2

=

1

4

，
故a的取值范围是[

10

121

，

1

4

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到根与系数的关系、二次函数的性质、均值定理等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．