题目内容

在△ABC中，|
AB
|=
3
，|
BC
|=1，|
AC
|cosB=|
BC
|cosA，则
AC
•
AB
=（　　）
A、
3
2
或2
B、
3
2
或
2
C、2
D、
3
2
或2
分析：通过正弦定理和|
AC
|cosB=|
BC
|cosA，求出A，B的关系：①A+B=90°，②A=B=30°分别利用
AC
•
AB
公式，求出它的值．
解答：解：设|
AB
|=c=
3
，|
CB
|=a=1，|
AC
|=b，
已知条件和正弦定理|
AC
|cosB=|
BC
|cosA
得：
cosA
cosB
=
b
a
=
sinB
sinA

所以sinAcosA=sinBcosB，
结合二倍角公式知sin2A=sin2B，A、B都是三角形的内角，
所以2A+2B=180°或者A=B． ①A+B=90°，
则C=90°，|
AC
|=
2
，tanA=
2
2
，cosA=
2
3
，
所以
AC
•
AB
=
2
•
3
cosA=2 ②A=B=30°（由三边长为1，1，
3
）知，
所以
AC
•
AB
=1×
3
cos30°=
3
2
 所以答案为2或
3
2

故选A
点评：本题是中档题，考查三角形中的向量问题，正弦定理的应用，分类讨论的数学思想，转化思想的应用，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题．
练习册系列答案
相关题目
在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，则（　　）
在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圆的面积．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．
在△ABC中，AB=a，AC=b，当
a
•
b
＜0时，△ABC为
钝角三角形
钝角三角形
．
在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，则△ABC的面积为
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圆的面积为
7π
3
7π
3
．
在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M为AB的中点，
BN
=
1
3
BC
，则
 
．

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