题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形．
（1）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角B-AC-P的余弦值；
（3）求点A到平面PCD的距离．

解：（1）取AB中点E，则PE⊥AB
∵平面PAB⊥平面ABCD
∴PE⊥平面ABCD
取CD中点F，连接EF
如图，建立空间直角坐标系E-xyz，则P（0，0， $\text{[math]}$ ），C（1，2，0）
∴ $\text{[math]}$
平面ABCD的一个法向量 $\text{[math]}$
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴PC与平面ABCD所成角的正弦值为 $\text{[math]}$
（2）A（-1，0，0），C（1，2，0），P（0，0， $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
平面APC的一个法向量 $\text{[math]}$
平面ABC的一个法向量 $\text{[math]}$
∴cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴二面角B-AC-P的余弦值为 $\text{[math]}$
（3）P（0，0， $\text{[math]}$ ），C（1，2，0），D（-1，2，0）
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴平面PCD的一个法向量 $\text{[math]}$ =（0， $\text{[math]}$ ，2）， $\text{[math]}$
∴d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴点A到平面PCD的距离为 $\text{[math]}$
分析：此题可利用空间向量做：根据题中条件可取AB中点E，取CD中点F，连接EF易证PE，BE，EF两两相互垂直故建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz
（1）求出 $\text{[math]}$ 和平面ABCD的一个法向量 $\text{[math]}$ 然后利用向量的夹角公式求出cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞然后根据若cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞0，则PC与平面ABCD所成角为 $\text{[math]}$ -＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞；若cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜0则PC与平面ABCD所成角为＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞- $\text{[math]}$ 然后再结合诱导公式进而可求出PC与平面ABCD所成角的正弦值．
（2）求出平面APC的一个法向量 $\text{[math]}$ ，平面ABC的一个法向量 $\text{[math]}$ 然后利用向量的夹角公式求出cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞而点P在面ABC上的投影点E在面ABC的内部故二面角B-AC-P的平面角为π-＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞（若cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＞0）或＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞（若cos＜ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ＞＜0）然后再结合诱导公式进而可求出二面角B-AC-P的余弦值．
（3）求出平面PCD的一个法向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 然后利用d= $\text{[math]}$ 即可求点A到平面PCD的距离．
点评：本题主要考查了利用空间向量求线面角、二面角、点到面的距离，属常考题，较难．解题的关键是首先依据题中条件建立恰当的空间直角坐标系然后根据线面角、二面角、点到面的距离的向量求法求出相应的量代入即可得解！