Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2+c2-b2=

3

ac．
（1）求sin2

A+C

2

+cos2B的值；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，
（1）由B的度数求出cosB的值，将所求式子第一项中的角利用三角形的内角和定理变形，并利用诱导公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosB的值代入即可求出值；
（2）由B的度数求出sinB的值，将b的值代入已知的等式并利用基本不等式求出ac的最大值，由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答：解：∵a²+c²-b²=

3

ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3 ac

2ac

=

3

2

，
又B为三角形的内角，
∴B=

π

6

，
（1）原式=sin²

π-B

2

+cos2B=cos²

B

2

+cos2B=

1

2

（1+cosB）+2cos²B-1
=

1

2

（1+

3

2

）+2×（

3

2

）²-1=1+

3

4

；
（2）∵b=2，
∴

3

ac=a²+c²-b²=a²+c²-4≥2ac-4，
∴ac≤

4

2- 3

=4（2+

3

）（当且仅当a=c=

2

+

6

时取等号），
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤2+

3

，
则△ABC面积的最大值为2+

3

．

点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．