Question

把一副三角板如图拼接，设BC=6，∠A=90°，AB=AC，∠BCD=90°，∠D=60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD．
（2）求三棱锥C-ABD的高．

Answer 1

分析：（1）利用平面ABD⊥平面ACD证AB⊥平面ACD，再由线面垂直证明面面垂直；
（2）过C作CE⊥AD于E，由平面ABD⊥平面ACD得CE⊥平面ABD，在Rt△ACD中，利用等面积法求得CE，可得三棱锥C-ABD的高．

解答：解：（1）∵平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD=BC，CD⊥BC，
∴CD⊥平面ABC，∴CD⊥AB，
又∵AB⊥AC，AC∩CD=C，
∴AB⊥平面ACD，
又AB?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACD；
（2）过C作CE⊥AD于E，
∵平面ABD⊥平面ACD，
∴CE⊥平面ABD，即CE是三棱锥C-ABD的高，
∵BC=6，∠D=60°，
∴CD=2

3

，AC=3

2

，
由（1）知CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AC，
AD=

AC2+CD2

=

12+18

=

30

，
由AD•CE=AC•CD得CE=

6 6

30

=

6 5

5

．

点评：本题考查了面面垂直的性质与判定，考查了点到平面的距离的求法，考查了学生的空间想象能力．