Question

已知定义在R上的函数f（x）满足下面两个条件：
①对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
②当x＞0时，f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）的单调性，并证明；
（3）如果不等式f(m-4sinx)+f(

7

4

-cos2x)≤0对于任意x∈R都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知等式，采用赋值法结合函数奇偶性的定义，可得f（x）是奇函数；
（2）根据函数单调性的定义，任取x₁＜x₂，将 f（x₂）与f（x₁）作差得到负数，从而 f（x₁）＞f（x₂），得到f（x） 在R上是减函数；
（3）根据函数在R上是奇函数且为减函数，将原不等式转化为m≥cos2x+4sinx-

7

4

在R上恒成立，再根据二次函数在闭区间上的最值，得到不等式右边的最大值，从而得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）取x=y=0，可得f（0）=0，
再取y=-x，可得f（x）+f（-x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），f（x）是奇函数                   …（5分）
（2）任取x₁＜x₂，则 f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
可得 f（x₁）＞f（x₂），所以f（x） 在R上是减函数                              …（10分）
（3）∵f(m-4sinx)+f(

7

4

-cos2x)≤0，且f（x）是奇函数
∴f(m-4sinx)≤-f(

7

4

-cos2x)=f(cos2x-

7

4

)
∵f（x） 在R上是减函数
∴m-4sinx≥cos2x-

7

4

，即m≥cos2x+4sinx-

7

4

∴m≥(cos2x+4sinx-

7

4

)max
∴下面即求函数cos2x+4sinx-

7

4

的最大值
由于cos2x+4sinx-

7

4

=-(sinx-2)2+

13

4

，sinx∈[-1，1]
∴当且仅当sinx=1时，(cos2x+4sinx-

7

4

)max=

9

4

所以m≥

9

4

…（16分）

点评：本题着重考查了函数的单调性与奇偶性、复合三角函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．