题目内容

已知等比数列{a_n}的首项为a₁= $数学公式$ ，公比q满足q＞0且q≠1．又已知a₁，5a₃，9a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n]的通项
（2）令b_n= $数学公式$ ，求证：对于任意n∈N^*，都有 $数学公式$ +…+ $数学公式$ ＜1

解：（1）∵2•5a₃=a₁+9a₅
∴10a₁q²=a₁+9a₁q⁴
∴9q⁴-10q²+1=0
∵q＞0，q≠1
∴ $\text{[math]}$
∴a_n=3^-n
（2）证明：∵b_n= $\text{[math]}$ =n，
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：（1）根据条件求得首项和公比，再用通项公式求解；（2）由（1）和b_n= $\text{[math]}$ 求得b_n再用裂项法求解证明．
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想．

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