题目内容
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2点M，N分别在棱PD，PC上，且| PN |
| 1 |
| 2 |
| NC |
（1）求证：PC⊥平面AMN
（2）求二面角B-AN-M的大小．
分析：（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出向量
，
，
，然后计算
•
与
•
，证得
⊥
，
⊥
，而AM∩AN=A，根据线面垂直的判定定理可得结论；
（2）由（1）可知
是平面AMN的一个法向量，然后求出平面BAN的一个法向量为
=（x，y，z），设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ=
，最后利用反三角函数表示即可．
| CP |
| AN |
| AM |
| CP |
| AN |
| CP |
| AM |
| CP |
| AN |
| CP |
| AM |
（2）由（1）可知
| CP |
| n |
| ||||
|
解答：解：
（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），∵
=
，∴N（
，
，
）
=（-2，-2，2），
=（
，
，
），
=（1，0，1）
∴
•
=（-2）×
+（-2）×
+2×
=0
•
=（-2）×1+0+2×1=0
∴
⊥
，
⊥
而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）由（1）可知
是平面AMN的一个法向量
设平面BAN的一个法向量为
=（x，y，z）
=（0，2，0），
=（
，
，
）
∴
即
令x=2，则y=0，z=-1
∴
=（2，0，-1）
设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ=
=
=-
∴二面角B-AN-M的大小为π-arccos
（1）以A点为坐标原点，AD、AB、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（2，0，0），P（0，0，2），M（1，0，1），∵
| PN |
| 1 |
| 2 |
| NC |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| CP |
| AN |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| AM |
∴
| CP |
| AN |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| CP |
| AM |
∴
| CP |
| AN |
| CP |
| AM |
而AM∩AN=A
∴PC⊥平面AMN
（2）由（1）可知
| CP |
设平面BAN的一个法向量为
| n |
| AB |
| AN |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
∴
|
|
令x=2，则y=0，z=-1
∴
| n |
设二面角B-AN-M的大小为θ，则cosθ=
| ||||
|
| -4-2 | ||||
|
2
| ||
| 15 |
∴二面角B-AN-M的大小为π-arccos
2
| ||
| 15 |
点评：本题主要考查了线面垂直的判定，以及利用空间向量的方法求二面角的平面角，同时考查了计算能力，属于中档题．
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