Question

设f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且在（0，+∞）递增，f（3）=0，则不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0的解集是（　　）

A．（0，3）

B．（-∞，-3）∪（0，3）

C．（-3，0）∪（3，+∞）

D．（-3，0）

Answer 1

分析：根据函数为奇函数，因此不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0?（x+3）f（x）＜0，然后对x+3＞0和x+3＜0，进行讨论，利用函数的单调性即可求得结果．

解答：解：∵f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，
∴不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0?（x+3）f（x）＜0，
∵f（3）=0，∴f（-3）=0，
①当x+3＜0时，即x＜-3，
原不等式等价于f（x）＞0=f（-3），
∵f（x）在（0，+∞）递增，
∴f（x）在（-∞，0）递增，
∴x＞-3，
∴原不等式的解集为∅；
②-3＜x＜0时，有x+3＞0，原不等式等价于f（x）＜0=f（-3），
∴x＜-3，
∴原不等式的解集为∅；
③x＞0时，有x+3＞0，原不等式等价于f（x）＜0=f（3），
∵f（x）在（0，+∞）递增，
∴x＜3
∴原不等式的解集为（0，3）．
∴不等式（x+3）[f（x）-f（-x）]＜0的解集是（0，3）．
故选A．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数的单调性转化函数值不等式，体现了转化的数学思想和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属中档题．