题目内容

已知函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），定义使f（1）•f（2）…f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，50]内这样的企盼数共有    个．
【答案】分析：由已知中函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），由对数运算的性质易得f（1）•f（2）…f（k）=log2（k+2），若其值为整数，则k+2=2n（n∈Z），结合k∈[1，50]，我们易得到满足条件的数的个数．
解答：解：∵函数f（n）=logn+1（n+2）（n∈N*），
∴f（1）=log23
f（2）=log34
…
f（k）=logk+1（k+2）
∴f（1）•f（2）…f（k）log23•log34•…•logk+1（k+2）=log2（k+2）
若f（1）•f（2）…f（k）为整数
则k+2=2n（n∈Z）
又∵k∈[1，50]
故k∈{2，6，14，30}
故答案为：4
点评：本题考查的知识点是对数的性质，其中换底公式的推论logab•logbc=logac是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=
kx-(k+1)x

（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求k的取值范围；
（2）证明：当k=2时，不等式f（x）＜lnx对任意x＞0恒成立；
（3）证明：ln（1×2）+ln（2×3）+L+ln[n（n+1）]＞2n-3．
给出下列四个结论：
①命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”；
②“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真；
③已知空间直线m，n，l，则m∥n的一个必要非充分条件是m，n与l所成角相等；
④已知函数f(x)=log2x+logx2+1，
 &x∈(0，1)
，则f（x）的最大值为-1．
其中正确结论的序号是
 
．
已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m≠0），函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处切线与x轴平行，
（1）用关于m的代数式表示n；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）若x1＞2，记函数y=f（x）的图象在点M（x1，f（x1））处的切线l与x轴的交点为（x2，0），证明：x2≥3．
（2012•成都一模）已知函数f(x)=
1
2
x2-mln
1+2x
+mx-2m，m＜0．
（I）当m=-1时，求函数y=f(x)-
x
3
的单调区间；
（II）已知m≤-
e
2
（其中e是自然对数的底数），若存在实数x0∈(-
1
2
，
e-1
2
]，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；
（III）证明：
n
k=1
8k-3
3k2
＞ln
(n+1)(n+2)
2
(n∈N*)．

已知函数 f (x) = x3 －(l－3)x2 －(l +3)x + l －1（l > 0）在区间[n, m]上为减函数，记m的最大值为m0，n的最小值为n0，且满足m0-n0 = 4．

（1）求m0，n0的值以及函数f (x)的解析式；

（2）已知等差数列{xn}的首项．又过点A(0, f (0))，B(1, f (1))的直线方程为y=g(x)．试问：在数列{xn}中，哪些项满足f (xn)>g(xn)？

（3）若对任意x1，x2∈ [a, m0]（x1≠x2），都有成立，求a的最小值．

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