Question

等差数列{a_n}和等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₅=b₃，设c_n=a_n•b_n，其中n∈N^*．
（1）求数列{c_n}的通项公式；
（2）设S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式，结合题意求出公差与公比，求出a_n的通项公式与b_n的通项公式，即可求出结果．
（2）列出数列的前n项和，利用错位相减法求出数列的前n项和即可．

解答：解：（1）因为等差数列中a_n=1+（n-1）d；
等比数列中 b_n=q^n-1；
∴a₂=1+d=b₂=q；
a₅=1+4d=q²=（1+d）²；
得出d（d-2）=0；
因为a₂=b₂≠1，，所以d=2，q=3；
a_n =2n-1；b_n=3^n-1
所以 c_n=（2n-1）3^n-1；
（2）S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•3⁰+3•3¹+5•3²+…+（2n-1）3^n-1
3S_n=1•3¹+3•3²+5•3³+…+（2n-1）3ⁿ
3S_n-S_n=-1-2•3¹-2•3²-…-2•3^n-1+（2n-1）3ⁿ
=-1-2×

3[3n-1-1]

3-1

+（2n-1）3ⁿ
=（2n-2）3ⁿ+2
S_n=（n-1）3ⁿ+1．

点评：本题考查等差数列与等比数列通项公式与前n项和的应用，考查计算能力与求和技巧．