Question

已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（　　）

• A．y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称
• B．y=f（x）的图象关于x=

  π

  2

  对称
• C．f（x）的最大值为

  3

  2

• D．f（x）既是奇函数，又是周期函数

Answer 1

分析：对于A选项，用中心对称的充要条件，直接验证f（2π-x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；
对于B选项，用轴对称的条件直接验证f（π-x）=f（x）成立与否即可判断其正误；
对于C选项，可将函数解析式换为f（x）=2sinx-2sin³x，再换元为y=2t-2t³，t∈[-1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；
对于D选项，可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．

解答：解：对于A选项，因为f（2π-x）+f（x）=cos（2π-x）sin2（2π-x）+cosxsin2x=-cosxsin2x+cosxsin2x=0，故y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，A正确；
对于B选项，因为f（π-x）=cos（π-x）sin2（π-x）=cosxsin2x=f（x），故y=f（x）的图象关于x=

π

2

对称，故B正确；
对于C选项，f（x）=cosxsin2x=2sinxcos²x=2sinx（1-sin²x）=2sinx-2sin³x，令t=sinx∈[-1，1]，则y=2t-2t³，t∈[-1，1]，则y′=2-6t²，令y′＞0解得-

3

3

＜t＜

3

3

，故y=2t-2t³，在[-

3?

3

，

3?

3

]上增，在[-1，-

3?

3

]与[

3?

3

，1]上减，又y（-1）=0，y（

3?

3

）=

4 3

9

，故函数的最大值为

4 3

9

，故C错误；
对于D选项，因为f（-x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，所以函数即是奇函数，又是周期函数
，故D正确
综上知，错误的结论只有C，
故选C

点评：本题考查函数的中心对称性，轴对称性的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强，知识领域转换快，易导致错误