Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

6

，cosA=

3

5

，b=2．
（1）求sinC的值；      （2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）再由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，再由B的度数，根据三角形的内角和定理用A表示出C，代入到sinC中，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将cosA和sinA的值代入即可求出sinC的值；
（2）由（1）求出的sinA，以及sinB和b的值，利用正弦定理求出a的值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积S，把求出的a，以及b与sinC的值代入即可求出面积．

解答：解：（1）∵A、B、C为△ABC的内角，且B=

π

6

，cosA=

3

5

，
∴C=

5π

6

-A，sinA=

4

5

，（3分）
∴sinC=sin(

5π

6

-A)=

1

2

cosA+

3

2

sinA=

3+4 3

10

．（6分）
（2）由（1）知sinA=

4

5

，，
又∵B=

π

6

，b=2，
∴在△ABC中，由正弦定理得：a=

bsinA

sinB

=

16

5

．
又sinC=

3+4 3

10

，b=2，
∴△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

16

5

×2×

3+4 3

10

=

48+64 3

50

．（12分）

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式与法则是解题的关键．