Question

在计算“

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

（n∈N^﹡）”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

，
由此得

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

4

，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
相加，得

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

类比上述方法，请你计算“

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

（n∈N^﹡）”，其结果为

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，是要根据

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，类比猜想计算“

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

（n∈N^﹡）”的公式，其处理的方法是由

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

n+1

=

n

n+1

的推导公式，类比分解

1

n(n+1)(n+2)

采用消项法即可得到答案．

解答：解：∵

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]，
∴

1

1×2×3

+

1

2×3×4

+…+

1

n(n+1)(n+2)

=

1

2

(

1

1×2

-

1

2×3

)+

1

2

(

1

2×3

-

1

3×4

)+…+

1

2

[

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

1

2

[

1

1×2

-

1

2×3

+

1

2×3

-

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

-

1

(n+1)(n+2)

]
=

n2+3n

4(n+1)(n+2)

故答案为：=

n2+3n

4(n+1)(n+2)

．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．