Question

如图所示，A₁B₁C₁-ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁和A₁C₁的中点，BC=CA=CC₁=2，
（Ⅰ） 求BD₁与AF₁所成角的余弦值；
（Ⅱ） 求直线AF₁和平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出

BD1

=（1，-1，2），

AF1

=（-1，0，2），利用向量夹角公式，即可求BD₁与AF₁所成角的余弦值；
（Ⅱ）求出

AF1

=（-1，0，2），平面ABC的一个法向量为

k

=（0，0，1），利用向量夹角公式，求直线AF₁和平面ABC所成的角的正弦值．

解答：解：（Ⅰ）如图所示，以

CA

，

CB

，

CC1

分别为x，y，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，
由BC=CA=CC₁=2，得A（2，0，0），B（0，2，0），
C₁（0，0，2），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2）．
∵D₁、F₁为A₁B₁、A₁C₁的中点，
∴D₁（1，1，2），F₁（1，0，2），
∴

BD1

=（1，-1，2），

AF1

=（-1，0，2），
∴

BD1

•

AF1

=（1，-1，2）•（-1，0，2）=3，
|

BD1

|=

6

，|

AF1

|=

5

，
∴|cos＜

BD1

，

AF1

＞|=

3

6 × 5

=

30

10

，即BD₁与AF₁所成角的余弦值为

30

10

；
（Ⅱ）∵

AF1

=（-1，0，2），平面ABC的一个法向量为

k

=（0，0，1），
∴直线AF₁和平面ABC所成的角的正弦值为

2

5 •1

=

2 5

5

．

点评：本题考查空间角，考查空间向量知识的运用，正确求向量是关键．