Question

已知函数f（x）=[3ln（x+2）﹣ln（x﹣2）]
（I） 求x为何值时，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）设F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是单调递增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=[﹣]=
∴当2＜x＜4时，f′（x）＜0，当x＞4时，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数
∴f（x）在[3，7]上的最大值应在端点处取得
f（3）﹣f（7）=[3ln5﹣ln1]﹣[ln625﹣ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即当x=7时，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是单调递增函数，
∴F（x）≥0恒成立
又F′（x）==
显然在f（x）的定义域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立．
∴（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情况讨论（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立时，a的解的情况．
当a﹣1＜0时，显然不可能有（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
当a﹣1=0时（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）=5x﹣8＞0在（2，+∞）上恒成立．
当a﹣1＞0时，又有两种情况：
①5²+16（a﹣1）（a+1）≤0；
②且（a﹣1）﹣2²+5×2﹣4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，无解；
由②得a≥﹣，a﹣1＞0，∴a＞1
综上所述各种情况，
当a≥1时（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范围为[1，+∞）．