Question

双曲线x²-y²=2的左、右焦点分别为F₁、F₂，点P_n（x_n，y_n）（n∈N*）在双曲线右支上，且满足|P_n+1F₂|=|P_nF₁|，P₁F₂⊥F₁F₂，则|P₂₀₀₉F₁|的值为

 

．

Answer 1

分析：由题意，知e=

2

，|P_nF₁|=|a+ex_n|=

2

+

2

xn，|P_n+1F₂|=|a-ex_n+1|=

2

xn+1-

2

，x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，由此能求出|P₂₀₀₉F₁|的值．

解答：解：依题意，e=

2

，
|P_nF₁|=|a+ex_n|=

2

+

2

xn，
|P_n+1F₂|=|a-ex_n+1|=

2

xn+1-

2

，
∴x_n+1=x_n+2，又P₁F₂⊥F₁F₂，
所以x₁=2，x_n=2n，x₂₀₀₉=4018．
则|P₂₀₀₉F₁|=

2

+

2

x2009=4019

2

，
故答案为：4019

2

．

点评：本题考查双曲线的简单性质和应用、向量垂直的条件等知识，解题时要注意公式的灵活运用．