Question

如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

，则λ+μ的最小值为

 

．

Answer 1

分析：建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

=（

λ

2

+μ cosθ，-λ+μsinθ ）=（1，1），用cosθ，sinθ表示 λ和μ，根据cosθ，sinθ 的取值范围，求出λ+μ=

3+2sinθ-2cosθ

2cosθ+sinθ

的最小值．

解答：解：以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
则E（

1

2

，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．   
设 P（cosθ，sinθ），∴

AC

=（1，1）．
再由向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

=λ（

1

2

，-1）+μ（cosθ，sinθ）=（

λ

2

+μ cosθ，-λ+μsinθ ），
∴

λ 2 +μcosθ=1 -λ+μsinθ=1

，
∴

λ= 2sinθ-2cosθ 2cosθ+sinθ μ= 3 2cosθ+sinθ

∴λ+μ=

3+2sinθ-2cosθ

2cosθ+sinθ

=

(-2cosθ-sinθ)+3sinθ+3

2cosθ+sinθ

=-1+

3sinθ+3

2cosθ+sinθ

．
由题意得 0≤θ≤

π

2

，
∴0≤cosθ≤1，0≤sinθ≤1，
∴当cosθ取最大值1时，同时，sinθ取得最小值0，这时λ+μ取最小值为

3+0-2

2+0

=

1

2

，
故答案为

1

2

．

点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，根据cosθ，sinθ 的取值范围求三角函数式的最值，用cosθ，sinθ表示 λ和μ 是解题的难点，属于中档题．