Question

设函数f（x）=ln（2x+3）+x²
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；
（2）根据（1）知f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最小值为f（-

1

2

）求出得到函数的最小值，又因为f（-

3

4

）-f（

1

4

）＜0，得到
f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最大值为f（

1

4

）求出得到函数的最大值．

解答：解：f（x）的定义域为（-

3

2

，+∞）
（1）f′（x）=

2

2x+3

+2x=

4x2+6x+2

2x+3

当-

3

2

＜x＜-1时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜-

1

2

时，f′（x）＜0；
当x＞-

1

2

时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（-

3

2

，-1），（-

1

2

，+∞）上单调递增，在区间（-1，-

1

2

）上单调递减
（2）由（1）知f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最小值为f（-

1

2

）=ln2+

1

4

又f（-

3

4

）-f（

1

4

）=ln

3

2

+

9

16

-ln

7

2

-

1

16

=ln

3

7

+

1

2

=

1

2

（1-ln

49

9

）＜0
所以f（x）在区间[-

3

4

，

1

4

]的最大值为f（

1

4

）=

1

16

+ln

7

2

．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数在闭区间上极值的能力．