Question

实数x，y满足不等式组

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

，则目标函数z=y-ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，则a的取值范围是（　　）

A．（0，1）

B．（-1，0）

C．（1，+∞）

D．（-∞，-1）

Answer 1

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=y-ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．

解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y-ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
平移直线y=ax+z，要使目标函数z=y-ax（a∈R）当且仅当x=1，y=3时取最大值，
即直线y=ax+z经过点A（1，3）时，截距最大，
由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右下方，
此时只要满足直线y=ax+z的斜率a大于直线AB的斜率即可，
直线AB方程为x-y+2=0，即y=x+2，直线的斜率为1，
∴a＞1．
故a的取值范围是（1，+∞）．
故选：C．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．根据目标函数在A（1，3）取得最大值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键．