Question

（本小题满分14分）

       在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP

（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；

（2）已知T（1，-1），设H是E 上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；

（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l₁与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。

Answer 1

（本小题满分14分）

       解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，

      

       因此即

              ①

       另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。

       MQ为线段OP的垂直平分线，

      

       又

       因此M在轴上，此时，记M的坐标为

       为分析的变化范围，设为上任意点

       由

   （即）得，

      

       故的轨迹方程为

                     ②

       综合①和②得，点M轨迹E的方程为

      

（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E₁和E₂两部分组成（见图3）：

       ；

      

       当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E₁于。

       再过H作垂直于的直线，交

       因此，（抛物线的性质）。

       （该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。

       当时，则

       综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为

   （3）由图3知，直线的斜率不可能为零。

       设

       故的方程得：

       因判别式

       所以与E中的E₁有且仅有两个不同的交点。

       又由E₂和的方程可知，若与E₂有交点，

       则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。

       因此，直线的取值范围是