Question

已知函数f（x）=2^x-2^-x．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅱ）若f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据f（x）定义域为R，且满足f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函数．
（Ⅱ）根据f（x）是奇函数，且f（x）在R上递增，故原不等式等价于f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有 1-m＜m²-1，由此解得m的范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）定义域为R，且满足f（-x）=2^-x-2^x=-f（x），故f（x）是奇函数．
（Ⅱ）∵f（x）是奇函数，f（x）定义域为R，当x递增时，2^x递增，-

1

2x

递增，
∴f（x）在R上递增．
故原不等式等价于f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
再根据f（x）在R上递增，
∴1-m＜m²-1，解得m∈（-∞，-2）∪（1，+∞），
故实数m的取值范围为 （-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义、函数的单调性的判断和单调性的性质应用，属于中档题．