Question

（2010•江门二模）已知数列{a_n}满足：a₁=λ，an+1=

2

3

an+n-2，其中λ∈R是常数，n∈N^*．
（1）若λ=-3，求a₂、a₃；
（2）对?λ∈R，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若λ+12＞0，讨论{S_n}的最小项．

Answer 1

分析：（1）由题意可得a₁=-3，把n=2，n=3分别代入递推公式可求a₂，a₃
（2）利用待定系数法构造数列b_n=a_n-3n+15为等比数列，可先求数列b_n的前n项和，然后利用分组求和求数列{a_n}的前项和s_n
（3）结合（2）可先求a_n=(

2

3

)n-1[(λ+12)]+(

3

2

)n-1(3n-15)]，观察可得当n≥5时，a_n＞0，通过计算a1=λ，a2=

2

3

(λ-

3

2

)， a3=

4

9

(λ-

3

2

) ， a4=

8

27

(λ+

15

8

)，从而对①λ＞

3

2

②λ=

3

2

③

-15

8

＜λ＜

3

2

④λ=-

15

8

分别进行判断数列单调性，从而求和的最小值．

解答：解：（1）a₁=-3，a₂=

2

3

a1+（1-2）=-3，a₃=

2

3

a₂+（2-2）=-2．
（2）设b_n=a_n+αn+β，α、β∈R是常数，代入得bn+1-α(n+1)-β=

2

3

(bn-αn-β)+n-2，
解

-α=- 2 3 α+1 -α-β=- 2 3 β-2

，
得

α=-3 β=15

，即b_n=a_n-3n+15，bn+1=

2

3

bn．
若λ≠-12，则{b_n}是首项为b₁=λ+12≠0、公比为q=

2

3

的等比数列，
所以{b_n}的前n项和Tn=

b1(1-qn)

1-q

=3(λ+12)[1-(

2

3

)n]
数列{3n-15}的前n项和为

(3n-15)+(3-15)

2

×n=

n(3n-27)

2

，所以Sn=3(λ+12)[1-(

2

3

)n]+

n(3n-27)

2

．
若λ=-12，则b_n=0，a_n=3n-15，Sn=

n(3n-27)

2

9．
综上所述，?λ∈R，Sn=3(λ+12)[1-(

2

3

)n]+

n(3n-27)

2

．
（3）an=(λ+12)(

2

3

)n-1+3n-15=(

2

3

)n-1[(λ+12)+(

3

2

)n-1(3n-15)]，
a₁=λ，a2=

2

3

(λ-

3

2

)，a3=

4

9

(λ-

3

2

)，a4=

8

27

(λ+

15

8

)，
当n≥5时a_n＞0，
所以，当λ＞

3

2

时，?n∈N^*有a_n＞0，{S_n}的最小项是S₁；
当λ=

3

2

时，{S_n}的最小项是S₁、S₂和S₃；
当-

15

8

＜λ＜

3

2

时，{S_n}的最小项是S₃；
当λ=-

15

8

时，{S_n}的最小项是S₃和S₄；当-12＜λ＜-

15

8

时，{S_n}的最小项是S₄．

点评：本题主要考查了利用构造求数列的通项及求和，结合数列的单调性求数列的最值问题，需要考生具备一定的逻辑推理与运算的能力．