Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=2cos

A

2

sin（π-

A

2

）+sin²

A

2

-cos²

A

2

．
（1）求函数f（A）的最大值；
（2）若f（A）=0，B=

5π

12

，a=2

6

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）逆用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式可将f（A）化简为f（A）=

2

sin（A-

π

4

），利用0＜A＜π及正弦函数的单调性质即可求得函数f（A）的最大值；
（2）在△ABC中，由f（A）=0可求得A=

π

4

，而B=

5π

12

，从而可求得C，a=2

6

，利用正弦定理即可求得c．

解答：解：（1）f（A）=2cos

A

2

sin

A

2

+sin²

A

2

-cos²

A

2

=sinA-cosA
=

2

sin（A-

π

4

）．
∵0＜A＜π，
∴-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

．
∴当A-

π

4

=

π

2

，即A=

3π

4

时，f（A）取得最大值，且最大值为

2

．
（2）由题意知f（A）=

2

sin（A-

π

4

）=0，
∴sin（A-

π

4

）=0．
又知-

π

4

＜A-

π

4

＜

3π

4

，
∴A-

π

4

=0，
∴A=

π

4

．
∵B=

5π

12

，
∴A+C=

7π

12

，则c=

π

3

．
由

a

sinA

=

c

sinC

得：
c=

asinC

sinA

=

2 6 sin π 3

sin π 4

=6．

点评：本题考查用二倍角的正弦与余弦及辅助角公式，考查正弦定理的应用，属于中档题．