Question

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-m）．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=4时，函数f（x）=log₂（|2x+1|+|x+2|-4），故有|2x+1|+|x+2|＞4．
故有 ①，或 ②，或 ③．
解①得 x＜-； 解②得 x∈∅； 解③得 x＞．
取并集可得函数f（x）的定义域为 ．-----（5分）
（2）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，则有|2x+1|+|x+2|-m≥2，即 m≤|2x+1|+|x+2|-2．
令 ，可得，即 g（x）的最小值等于-
∴．-------（5分）
分析：（1）当m=4时，有|2x+1|+|x+2|＞4，故有 ①，或 ②，或 ③．分别求出①②③的解集，
再取并集即得所求．
（2）由题意可得 m≤|2x+1|+|x+2|-2，令g（x）=|2x+1|+|x+2|-2，求得g（x）的最小值等于-，可得 ．
点评：本题主要考查对数函数的定义域的求法，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．