Question

设数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁=6,a₂=b₂=4,a₃=b₃=3,且数列{a_n+1-a_n}{n∈N^*}是等差数列，数列{b_n-2}{n∈N^*}是等比数列.

（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）是否存在k∈N^*,使a_k-b_k∈(0,)?若存在，求出k，若不存在，说明理由.

Answer 1

解:（1）由已知a₂-a₁=-2,a₃-a₂=-1,-1-(-2)=1.

∴a_n+1-a_n=(a₂-a₁)+(n-1)×1=n-3.

n≥2时，

a_n=(a_n- a_n-1)+…+（a₃-a₂）+(a₂-a₁)+a₁=(n-4)+(n-5)+…(-1)+(-2)+6=.

n=1也合适.

∴a_n=,n∈N^*.

又b₁-2=4,b₂-2=2,

而=,

∴b_n-2=（b₁-2）×（）^n-1,

即b_n=2+8×（）ⁿ.

∴数列{a_n}、{b_n}的通项公式为a_n=，b_n=2+2^3-n.

（2）设f(k)=a_k-b_k=k²-k+7-8·（）^k=（k-）²+-8·（12）^k.

当k≥4时12（k-72）²+78为k的增函数，-8×（12）^k也为k的增函数，而f（4）=12，

∴当k≥4时，a_k-b_k≥,

又f(1)=f(2)=f(3)=0.

∴不存在k,使f(k)∈(0, ).