Question

　　  

斜三棱柱ABC—A₁B₁C₁是底面边长为2的正三角形,顶点A₁在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，AA₁与AB的夹角是45°.

(1)求证：AA₁⊥平面A₁BC；

(2)求此棱锥的侧面积.

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵点A1在底面ABC上的射影O是正△ABC的中心， ∴A1－ABC为正三棱锥，AA1=A1B=A1C， 又∠A1AB=45°，∴∠AA1B=∠AA1C=90°，即AA1⊥A1B，AA1⊥A1C， 又A1B∩A1C=A，∴AA1⊥平面A1BC. (2)解：连AO并延长交BC于D， ∵O是正△ABC的中心，∴AD⊥BC. 又AO是AA1在底面ABC上的射影， ∴AA1⊥BC(由(1)知)， ∵BB1∥AA1，∴BB1⊥BC， ∴BCC1B1是矩形， 在Rt△AA1B中，AA1=A1B==BB1，又BC =2， ∴ ∴S侧=.