题目内容

已知函数f（x）=loga（x+1），g（x）=loga（4-2x）
（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）求使F（x）的函数值为正数的x的取值范围．
分析：（1）由题意可得
x+1＞0
4-2x＞0
，求得x的范围，可得函数F（x）的定义域．
（2）化简F（x）的解析式为loga 
x+1
4-2x
，分a＞1和0＜a＜1两种情况，分别利用对数函数的定义域和单调性求得x的取值范围．
解答：解：（1）由题意可得
x+1＞0
4-2x＞0
，解得-1＜x＜2，可得函数F（x）的定义域是（-1，2）．
（2）F（x）=f（x）-g（x）=loga（x+1）-loga（4-2x）=loga 
x+1
4-2x
，
 当a＞1时，由
x+1
4-2x
＞1
-1＜x＜2
，可得
3x-3
2x-4
＜0
-1＜x＜2
，解得 1＜x＜2，故x的取值范围是（1，2）．
当0＜a＜1时，由
0＜
x+1
4-2x
＜1
-1＜x＜2
，可得
x+1
2x-4
＜0
3x-3
2x-4
＞0
-1＜x＜2
，解得-1＜x＜1，
故x的取值范围是（-1，1）．
点评：本题主要考查分式不等式、对数函数的定义域、对数不等式的解法，属于中档题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
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（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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