Question

如图，半圆形公园上有P和Q两点，线段AB是该半圆的一条直径，C为圆心，半径是2km，现要在公园内建一块顶点都在半圆C上的多边形活动场地为等腰梯形ABPQ．
（1）若设PQ=2x（km），求场地面积S关于x的函数关系式；
（2）若设∠PCB=θ，求场地面积S关于θ的函数关系式；
（3）选择（1）、（2）中的一个函数的关系式，求场地面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据已知中半圆的半径是2km，PQ=2x，我们可以计算出梯形的高，即PQ到AB的距离，然后将上底长，下底长和高代入梯形面积公式，即可得到场地面积S关于x的函数关系式；
（2）根据∠PCB=θ半圆的半径是2km，我们可以计算出梯形的高，及上底的长度，然后将上底长，下底长和高代入梯形面积公式，即可得到场地面积S关于θ的函数关系式
（3）分别求出（1）、（2）结论中两个函数的导数，分析出函数取最大值时自变量的值，代入即可得到面积的最大值．

解答：解：（1）半圆的半径是2km，又由PQ=2x
则PQ到AB的距离为

4-x2

代入梯形面积公式，即可得到
场地面积S关于x的函数关系式为：S=(x+2)

4-x2

，x∈(0，2)．
（2）若∠PCB=θ，则梯形的高为2sinθ，上底长为2cosθ
代入梯形面积公式，即可得到
场地面积S关于θ的函数关系式为：S=4sinθ+2sin2θ，θ∈(0，

π

2

)．
（3）若选用（1），则S′=

-2(x-1)(x+2)

4-x2

，x∈(0，2)，通过列表，观察得：当x=1时，Smax=3

3

(km2)；
若选用（2），则S'=4cosθ+4cos2θ=4（2cos²θ+cosθ-1）=4（cosθ+1）（2cosθ-1），通过列表，观察得：当θ=

π

3

时，Smax=3

3

(km2)．

点评：本题考查的知识点是已知三角形模型的应用问题．由于场地为一个梯形，故求出梯形的上下底边的长及梯形的高，是求出场地面积的关键．