Question

（2013•泰安一模）已知函数f（x）=（ax²+x+1）e^x．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）当a=0时，是否存在实数m使不等式mx+1≥-x²+4x+1和2f（x）≥mx+1对任意x∈[0，+∞）恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义求a，并利用函数的单调性和导数之间的关系求函数的单调区间．
（2）利用导数和函数最值之间的关系求恒成立问题．

解答：解：（1）函数的导数为f'（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x+1）e^x=[ax²+（2a+1）x+2]e^x，
因为曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
所以f'（1）=（3a+3）e=0，解得a=-1．
此时f'（x）=（-x²-x+2）e^x=-（x+2）（x-1）e^x，
由f'（x）=-（x+2）（x-1）e^x＞0，解得-2＜x＜1，即函数的单调递增区间为（-2，1）．
由f'（x）=-（x+2）（x-1）e^x＜0，解得x＞1或x＜-2，即函数的单调递减区间为（-∞，-2）和（1，+∞）．
（2）当a=0时，f（x）=（x+1）e^x．假设存在实数m使不等式mx+1≥-x²+4x+1和2f（x）≥mx+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，
由mx+1≥-x²+4x+1，得x²+（m-4）x≥0恒成立，所以判别式△=（m-4）²≤0，解得m=4．
下面证明2（x+1）e^x≥4x+1恒成立．
设g（x）=2（x+1）e^x-4x-1，g'（x）=（2x+4）e^x-4，
因为g'（0）=0．当x≥0时，（2x+4）＞4，e^x＞1，所以g'（x）=（2x+4）e^x-4＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增．
所以g（x）的最小值为g（0）=2-1=1＞0，所以g（x）＞0．
即2（x+1）e^x≥4x+1恒成立．
综上可知：存在实数m=4使不等式mx+1≥-x²+4x+1和2f（x）≥mx+1对任意x∈[0，+∞）恒成立，

点评：本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查学生的运算能力．