题目内容
如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，∠DAB=90°，AD=2BC，PB⊥平面PAD．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）设点E在棱PA上，PC∥平面EBD，求
的值．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）设点E在棱PA上，PC∥平面EBD，求
| PE | EA |
分析：（1）由PB⊥平面PAD得到PB⊥AD，结合AB⊥AD利用线面垂直判定定理，可得AD⊥平面PAB．
（2）连结AC交BD于点F，连结EF．根据线面平行性质定理证出PC∥EF．梯形ABCD中证出△ADF∽△CBF，从而得到
=
=2．最后在△PAC中利用平行线分线段成比例定理，即可求出
的值为
．
（2）连结AC交BD于点F，连结EF．根据线面平行性质定理证出PC∥EF．梯形ABCD中证出△ADF∽△CBF，从而得到
| AF |
| FC |
| AD |
| BC |
| PE |
| EA |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵PB⊥平面PAD，AD?平面PAD，
∴PB⊥AD． …（2分）
∵AB⊥AD，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB． …（5分）
（2）连结AC交BD于点F，连结EF． …（6分）
∵PC∥平面EBD，PC?平面PAC，
平面EBD∩平面PAC=EF，
∴PC∥EF． …（9分）
由BC∥AD，得△ADF∽△CBF．
∴结合AD=2BC，得
=
=2．…（12分）
∵△PAC中，PC∥EF，∴
=
=
．
即
的值为
…（14分）
∴PB⊥AD． …（2分）
∵AB⊥AD，AB∩PB=B，∴AD⊥平面PAB． …（5分）
（2）连结AC交BD于点F，连结EF． …（6分）
∵PC∥平面EBD，PC?平面PAC，
平面EBD∩平面PAC=EF，
∴PC∥EF． …（9分）
由BC∥AD，得△ADF∽△CBF．
∴结合AD=2BC，得
| AF |
| FC |
| AD |
| BC |
∵△PAC中，PC∥EF，∴
| PE |
| EA |
| CF |
| AF |
| 1 |
| 2 |
即
| PE |
| EA |
| 1 |
| 2 |
点评：本题在四棱锥中证明线面垂直，并求线面平行时线段的比．着重考查了空间直线与平面平行的性质定理，线面垂直的判定与性质和平行线的性质等知识，属于中档题．
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