Question

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上．  
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记bn=（n∈N^*），求数列{b_n} 的前n项和T_n
（3）由（2），是否存在最小的整数m，使得对于任意的n∈N^*，均有，若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得 Sn=bⁿ+r，利用数列中a_n与 Sn关系求{a_n}的通项公式，再据定义求出r的值；
（2）由（1）求得b_n=，即可得到再用错位相消法求Tn；
（3）对于任意的n∈N^*，均有，，利用数列的函数性质，求出3-2T_n的最大值，再去确定m的取值情况．
解答：解：（1）因为对任意的n∈N^*，点（n，S_n），均在函数y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数）的图象上
所以得   S_n=bⁿ+r，
当n=1时，a₁=S₁=b+r，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r ）=（b-1）b ^n-1，
又因为{a_n}为等比数列，∴公比为b，所以 ，解得r=-1，首项a₁=b-1，
∴a_n=（b-1）b^n-1    
（2）当b=2时，a_n=2^n-1，b_n===   
则 
∴    
两式相减，得
=
=-
∴T_n=-=-
（3）若 使得对于任意的n∈N^*，都成立
∴3-（3-）＜，
即＜对于任意的n∈N^*，都成立
又，
∴的最大值在n=1时取得，最大值为2，
∴＞2，m＞40，所以存在这样的m=41符合题意．
点评：本题是函数与数列、不等式的综合．主要考查等比数列定义，及利用错位相消法来处理数列求和、恒成立问题．