题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率是
5
3
，定点M（2，0）椭圆短轴的端点是B1，B2，且MB1⊥MB2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P（
9
2
，0），设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，求证：PM是∠APB的平分线．
分析：（Ⅰ）由椭圆离心率计算公式可得 
5
9
=e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
，解得
b
a
=
2
3
．依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．即可．
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，得到根与系数的关系，代入并证明kPA+kPB=0，即可．
解答：（Ⅰ）解：由 
5
9
=e2=
c2
a2
=
a2-b2
a2
，得
b2
a2
=
4
9
，即
b
a
=
2
3
．
依题意△MB1B2是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．
所以椭圆C的方程是
x2
9
+
y2
4
=1．
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，
消去x得（4m2+9）y2+16my-20=0．
所以 y1+y2=
-16m
4m2+9
，y1y2=
-20
4m2+9
．（*）
所以kPA+kPB=
y1
x1-
9
2
+
y2
x2-
9
2
=
y1(my2-
5
2
)+y2(my1-
5
2
)
(my1-
5
2
)(my1-
5
2
)
=
2my1y2-
5
2
(y1+y2)
m2y1y2-
5
2
m(y1+y2)+
25
4
．
将 （*）代入上式得，kPA+kPB=0，
则直线PA，PB的倾斜角互补，从而使PM是∠APB的平分线．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为根与系数的关系、PM是∠APB的平分线?kPA+kPB=0等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

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