Question

（2013•门头沟区一模）已知函数f（x）=

ax2+x+a

ex

．
（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）≥

1

e2

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得f′（0）=1-a=-2，解之可得a值；
（Ⅱ）求导数，分a=0和a≠0两大类老讨论，其中第二类又需分a＜0，0＜a≤1，a＞1三种情况，综合可得．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得f′（x）=

(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex

(ex)2

=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

 …（2分）
故可得f′（0）=1-a，因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，
而直线的斜率为-2，所以1-a=-2，解得a=3                         …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=

-ax2+(2a-1)x+1-a

ex

=

-(ax+1-a)(x-1)

ex

，令f′（x）=0，
当a=0时，x=1，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，f（0）=0，f（2）=

2

e2

，
故函数f（x）的最小值为0，结论不成立．…（6分）
当a≠0时，x₁=1，x₂=1-

1

a

                               …（7分）
若a＜0，f（0）=a＜0，结论不成立                     …（9分）
若0＜a≤1，则x₂≤0，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
只需

f(0)≥ 1 e2 f(2)≥ 1 e2

，解得

a≥ 1 e2 a≥- 1 5

，所以

1

e2

≤a≤1            …（11分）
若a＞1，则0＜1-

1

a

＜1，函数在x=1-

1

a

处有极小值，只需

f(1- 1 a )≥ 1 e2 f(2)≥ 1 e2

解得

2a-1≥e-1- 1 a a≥- 1 5

，因为2a-1＞1，e-1-

1

a

＜1，所以a＞1   …13
综上所述，a≥

1

e2

  …（14分）

点评：本题考查利用导数研究曲线的切线，涉及恒成立问题，属中档题．