题目内容

精英家教网如图在△ABC中，设
AB
=
a
，
AC
=
b
，又
BD
=2
DC
，|
a
|=2，|
b
|=1，?
a
，
b
＞=
π
3
，（?
a
.
b
＞是表示向量
a
，
b
的夹角）
（1）用
a
，
b
表示
AD

（2）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求
AF
•
AB
．
分析：（1）利用向量的三角形法则，把
AD
放入三角形中，用其他向量表示，最后，转化到用
a
，
b
向量表示即可．
（2）先判断F点分AD的比是多少，可通过过D点作DM∥AC，构造成比例线段，来判断P点的位置，再把
AF
用
AD
表示，根据（1）中结果转化为
a
，
b
．计算
AF
•
AB
即可．
解答：解：（1）
AD
=
AB
+
BD
=
AB
+
2
3
BC 
=
AB
+
2
3
(
AC
-
AB
)=
1
3
AB
 +
2
3
AC
=
1
3
a
+
2
3
b

（2）过D点作DM∥AC，交BE与点M，∵
BD
=2
DC
，DM∥AC，∴
|DM|
|CE|
=
|BD|
|BC|
=
2
3

又∵点E是AC边的中点，∴
|DM|
|AE|
=
2
3

∵DM∥AC，∴
|DM|
|AE|
=
|DM|
AM|
=
2
3
，∴
AF
=
3
5
AD
=
3
5
(
1
3
a
+
2
3
b
)=
1
5
a
+
2
5
b
，
∴
AF
•
AB
=(
1
5
a
+
2
5
b
)•
a
=
1
5
(|
a
|)2+
2
5
|
a
||
b
|cos
π
3
=
4
5
+
2
5
=
6
5
点评：本题考查了向量的几何运算，做题时应认真分析，找到突破口．
练习册系列答案
相关题目
如图，在△ABC中，设
AB
=a，
AC
=b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P．
（Ⅰ）若
AP
=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC为邻边，AP为对角线，作平行四边形ANPM，求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM
S△ABC
．

如图在△ABC中，设是表示向量的夹角)

(1)用

(2)若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求

（本小题满分12分）

如图,在△ABC中,,.

（1）求；

（2）设的中点为,求中线的长.

 
如图在△ABC中，设，，又，，（是表示向量的夹角）
（1）用表示
（2）若点E是AC边的中点，直线BE交AD于F点，求．

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