Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0
（Ⅰ）当圆C与直线l相切时，求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使以PQ为直径的圆经过原点O？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圆C与直线l相切，知R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，由此能求出所求圆的方程．
（Ⅱ）假设存在m使以PQ为直径的圆经过原点O，则，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立

x2+y2+x-6y+m=0 x+y-3=0

，得2x²+x+m-9=0，由此能推导出存在m=-

3

2

，使以PQ为直径的圆经过原点O．

解答：解：（Ⅰ）∵圆C：x²+y²+x-6y+m=0，
∴圆心C（-

1

2

，3），
∵圆C与直线l相切，
∴R=d=

|- 1 2 +3-3|

2

=

1

2 2

，
故所求圆的方程为：(x+

1

2

)2+(y-3)2=

1

8

（Ⅱ）假设存在m使以PQ为直径的圆经过原点O，
则设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立

x2+y2+x-6y+m=0 x+y-3=0

，
得2x²+x+m-9=0，
∵△=1-8（m-9）＞0，
∴m＜

73

8

，（8分）
OP⊥OQ?

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=x1x2+(3-x1)(3-x2)=2x1x2-3(x1+x2)+9
=m-9+

3

2

+9=0⇒m=

3

2

，
且符合m＜

73

8

，
∴存在m=-

3

2

，使以PQ为直径的圆经过原点O．

点评：本题考查直线与圆的性质的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．