Question

已知f（x）=lnx+2-x，若x＞0，f（x）＜a²恒成立，则实数a的取值范围是

（-∞，-1）∪（1，+∞）

．

Answer 1

分析：若x＞0，f（x）＜a²恒成立等价于：若x＞0，f（x）_max＜a²．利用导数确定函数的单调性，极值点，从而确定函数的最值，进而解不等式即可．

解答：解：由题意，若x＞0，f（x）＜a²恒成立等价于：若x＞0，f（x）_max＜a²．
f/(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f^′（x）＜0
∴x=1时，f（x）取得最大值1
∴1＜a²．
∴a＜-1或a＞1
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）

点评：本题的考点是函数恒成立问题，考查利用最值法解决恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，其中x＞0，f（x）＜a²恒成立转化为：若x＞0，f（x）_max＜a²是解题的关键．