Question

已知函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值，并写出x相应的取值．

Answer 1

分析：（1）将函数f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx化简为y=Asin（ωx+φ）的形式即可得到答案．
（2）根据x的范围，可求出2x+

π

4

的范围，再由正弦函数的单调性可得答案．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=

2

sin(2x+

π

4

)
所以函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴-1≤

2

sin(2x+

π

4

)≤

2

，
∴当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

．

点评：本题主要考查三角函数最小正周期和最值的求法．一般这种题型都要把三角函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式再解题．