Question

如图，点A在直线上的射影为点B在上的射影为，已知．

（Ⅰ）求直线AB分别与平面所成角的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小．

Answer 1

解法一

  (Ⅰ)如图, 连接A1B,  AB1,        ………………………1分

  ∵⊥β, ∩β=l ,AA1⊥l,  BB1⊥l,

∴AA1⊥β, BB1⊥.

则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与和β所成的………………3分

Rt△BB1A中, BB1= , AB=2,

∴sin∠BAB1 =  =  .

∴∠BAB1=45°.    ………………… 4分

Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= =  ,

∴∠ABA1= 30°.     ………………… 5分

故AB与平面,β所成的角分别是45°, 30°.  ………………… 6分

(Ⅱ) ∵BB1⊥,

∴平面ABB1⊥.

过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.

过E作EF⊥AB交AB于F,连接 A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB,

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.       ……………………8分

在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,

∴AB1=B1B=.

在Rt△AA1B1中, AA1 =1, AB1 =.

∴A1B1. ∴A1E==         ……………………9分

∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得

A1F== = ,                 ………………10分

∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE =  = ,

∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.    …………………12分