题目内容

若f（x）是奇函数，在x＞0时f（x）=sin2x+cosx，则x＜0时f（x）的解析式是，f′（- $数学公式$ ）=．

f（x）=sin2x-cosx $\text{[math]}$
分析：设x＜0，则-x＞0，结合题意可得则f（-x）=cosx-sin2x，又因为f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x），即可得x＜0时f（x）的解析式，进而计算出f（x）的导数，将x=- $\text{[math]}$ 代入可得f′（- $\text{[math]}$ ），可得答案．
解答：设x＜0，则-x＞0，
又因为x＞0时，f（x）=sin2x+cosx
则f（-x）=cosx-sin2x
又因为f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x）=sin2x-cosx，
即x＜0时f（x）的解析式是sin2x-cosx，
则x＜0时，f′（x）=2cos2x+sinx；
f′（- $\text{[math]}$ ）=2cos（- $\text{[math]}$ ）+sin（- $\text{[math]}$ ）=1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
故答案为f（x）=2cos2x+sinx； $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查函数的奇偶性的应用以及导数的计算，解题的关键在于理解函数奇偶性的定义并灵活运用．

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若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，且f（-3）=0，则x•f（x）＜0的解是（　　）

A、（-3，0）∪（3，+∞）

B、（-∞，-3）∪（0，3）

C、（-∞，-3）∪（3，+∞）

D、（-3，0）∪（0，3）

给出下列命题：
①a^mbⁿ=（ab）^m+n；
②若f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
③a＜0是方程ax²+2x+1=0有一个负实数根的充分不必要条件；
④设有四个函数y=x-1，y=x3，y=x

，y=x4，其中y随x增大而增大的函数有3个．
其中正确命题的个数为（　　）

若f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（-3）=0，则（x-1）f（x）＜0的解是（　　）

A．（-3，0）∪（1，+∞）

B．（-3，0）∪（0，3）

C．（-∞，-3）∪（3，+∞）

D．（-3，0）∪（1，3）

，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是（　　）

（2010•成都模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不为常函数，有以下命题：
①函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则f（x）是以2为周期的周期函数；
③若f（x）是奇函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
④对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，若

＞0恒成立，则f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
其中正确命题的序号是