Question

f(x)=-x2+ax+

1

2

-

a

4

在区间[0，1]上的最大值为2，求a的值．

Answer 1

分析：将函数配方成顶点式：y=-（x-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，得y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=

a

2

对称．然后根据区间[0，1]与对称轴的位置关系进行讨论，结合函数的单调性与最大值为2，列出关于a的方程并解之，可得实数a的值，最后综合可得符合题意的答案．

解答：解：配方，得f(x)=-x2+ax+

1

2

-

a

4

=-（x-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

∴函数y=f（x）的图象是开口向下的抛物线，关于直线x=

a

2

对称
（1）当

a

2

∈[0，1]时，即0≤a≤2时，
f（x）的最大值为f（

a

2

）=

a2

4

-

a

4

+

1

2

=2，解之得a=-2或3，经检验不符合题意；
（2）当

a

2

＞1时，即a＞2时，函数在区间[0，1]上是增函数
∴f（x）的最大值为f（1）=-1+a+

1

2

-

a

4

=2，解之得a=

10

3

（3）当

a

2

＜0时，即a＜0时，函数在区间[0，1]上是减函数
∴f（x）的最大值为f（0）=

1

2

-

a

4

=2，解之得a=-6
综上所述，得当f（x）区间[0，1]上的最大值为2时，a的值为-6或

10

3

．

点评：本题给出含有参数的二次函数在闭区间上的最大值，求参数a的值，着重考查了二次函数的图象与它在闭区间上求最值的知识，属于中档题．