Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC．AB=AC=l，∠BAC=12°，B₁C=3．
（I）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积：
（II）求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为AA₁⊥平面ABC，BB₁∥AA₁，所以BB₁⊥平面ABC．
又BC?平面ABC，所以BB₁⊥BC．
由AB=AC=1，∠BAC=120°，得BC==．
在Rt△B₁BC中，BB₁==．…（4分）
所以三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=AB•ACsin120°•AA₁=×1×1××=．…（6分）
（Ⅱ）因为AC∥A₁C₁，所以∠B₁CA为异面直线B₁C与A₁C₁所成角或其补角．
由（Ⅰ），BB₁⊥平面ABC，则BB₁⊥AC．
在Rt△B₁BA中，AB₁==．…（9分）
在△B₁CA中，cos∠B₁CA==，∴∠B₁CA=60°，
所以异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小为60°．…（12分）
分析：（Ⅰ）先证明BB₁⊥BC，再利用三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=AB•ACsin120°•AA₁，可得结论；
（Ⅱ）确定∠B₁CA为异面直线B₁C与A₁C₁所成角或其补角，在△B₁CA中，利用cos∠B₁CA=，可求异面直线B₁C与A₁C₁所成角的大小．
点评：本题考查三棱柱体积的计算，考查异面直线所成角，考查学生的计算能力，属于中档题．