Question

已知数列{a_n}中a₁=

3

5

，a_n=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N*），数列{b_n}，满足b_n=

1

an-1

（n∈N*）．
（1）求证数列{b_n]是等差数列；
（2）若S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），则S_n是否存在最大值或最小值？若有，求出最大值与最小值，若没有说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中b_n=

1

an-1

，a_n=2-

1

an-1

，我们易得到b_n-b_n-1=1，再由a₁=

3

5

，求出数列{b_n]是首项b₁，后即可得到数列{b_n]是等差数列；
（2）由（1）中的结论，我们可得a_n-1=

1

n- 7 2

，由此可将S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），进行化简，构造设函数y=

1

x- 5 2

，讨论函数的单调性后，易得到当n=2时，S_n取最大值，代入即可得到结果．

解答：解：（1）由题意知b_n=

1

an-1

，∴b_n-b_n-1=

an-1

an-1-1

-

1

an-1-1

=1（n∈N*），
∴数列{b_n]是首项为b₁=

1

a1-1

=-

5

2

，公差为1的等差数列．
（2）依题意有．a_n-1=

1

n- 7 2

S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）=-

2

5

-

1

n- 5 2

，
设函数y=

1

x- 5 2

，则函数在（

5

2

，+∞）上为减函数．
S_n在[3+∞）上是递增，且S_n＜-

2

5

，故当n=3时，且S_n=-

2

5

-

1

n- 5 2

，取最小值-

12

5

．
而函数y=

1

x- 5 2

在（-∞，

5

2

）上也为减函数，S_n在（1，2]上是递增，且S_n＞-

2

5

，
故当n=2时，S_n取最大值：S₂=

8

5

．S_n的最大值为

8

5

．

点评：本题考查的知识点是等差关系的确定及数列的函数特征，在求数列的最大项及数列前n项和的最大值时，我们常借助函数的性质进行分析，但要注意数列是自变量为正整数的特殊函数，故满足条件的n值，均应为正整数．