Question

已知函数f（x）=2lnx-x²+ax，a∈R
（1）当a=2时，求函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程；
（2）若函数f（x）-ax+m=0在[

1

e

，e}上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x₁，0），B（x₂，0）且0＜x₁＜x₂，求证：f′（px₁+qx₂）＜0（其中实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）

Answer 1

分析：（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，f′(x)=

2

x

-2x+2，由此能求出函数f（x）的图象在x=1处的切线的方程．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x²+m=0，令g（x）=2lnx-x²+m，则g′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，由此能求出函数f（x）-ax+m=0在[

1

e

，e}上有两个不等的实数根时，实数m的取值范围
（3）由函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），2lnx-x²+ax=0的两个根为x₁，x₂，知

2lnx1-x12+ax1=0 2lnx2-x22+ax2=0

，由此能够证明f′（px₁+qx₂）＜0．

解答：解：（1）当a=2时，f（x）=2lnx-x²+2x，
f′(x)=

2

x

-2x+2，
切点坐标为（1，1），
切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．
（2）方程f（x）-ax+m=0即为2lnx-x²+m=0，
令g（x）=2lnx-x²+m，
则g′（x）=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，∴g′（x）=0时，x=1．
当

1

e

＜x＜1时，g′（x）＞0；
当1＜x＜e时，g′（x）＜0，
故函数g（x）在x=1取得极大值g（1）=m-1，
又g（

1

e

）=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，
g（e）-g（

1

e

）=4-e²+

1

e2

＜0，
则g（e）＜g（

1

e

），
故函数g（x）在[

1

e

，e]上的最小值是g（e）．
方程f（x）-ax+m=0在[

1

e

，e]上有两个不相等的实数根，
则有

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
故实数m的取值范围是（1，2+

1

e2

]．
（3）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0），
2lnx-x²+ax=0的两个根为x₁，x₂，
则

2lnx1-x12+ax1=0 2lnx2-x22+ax2=0

，
两式相减，得a=（x₁+x₂）-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

，
f（x）=2lnx-x²+ax，
f′(x)=

2

x

-2x+a，
则f′(px1+qx2)=

2

px1+qx2

-2（px₁+qx₂）+（x₁+x₂）-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

=

2

px1+qx2

-2（px₁+qx₂）+（x₁+x₂）-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(2p-1)x1-（2q-1）x2 ，（∵p+q=1）
=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+（2p-1）（x₂-x₁），（*）
∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，
∵0＜x₁＜x₂，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0．
下面证明

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＜0，
即证明

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0，
令t=

x1

x2

，∵0＜x₁＜x 2 ，∴0＜t＜1，
即证明u（t）=

1-t

pt-q

+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立．
∵u′（t）=

1

t

-

1

(pt+q)2

=

p2t2-t(p2+q2)+q2

t(pt+q)2

=

p2t2-t(p2+q2)+q2

t(pt+q)2

=

p2(t-1)(t- q2 p2 )

t(pt+q)2

，
∵0＜p≤q，∴

q2

p2

≥1，
∵0＜t＜1，∴u′（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，
则u（t）＜u（1）=0，
∴

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0，
故（*）＜0，
所以f′（px₁+qx₂）＜0．

点评：本题考查切线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．