题目内容

已知函数f（x）=a^x- $数学公式$ 的反函数f^-1（x）的图象过点（-1，2），且函数f（x）为减函数．
（1）求y=f^-1（x）的解析式；
（2）求满足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范围．

解：（1）∵反函数f^-1（x）的图象过点（-1，2），
故函数f（x）的图象过点（2，-1），∴-1=a²- $\text{[math]}$ ，解得a=3，或a= $\text{[math]}$ ．
又f（x）为减函数，∴a= $\text{[math]}$ ，所以f（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，f（x）＞- $\text{[math]}$ ．
所以f^-1（x）= $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ），（x＞- $\text{[math]}$ ）．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1），可得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
故满足f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）的x的取值范围是{x|x＞- $\text{[math]}$ 且x≠1}．
分析：（1）由题意可得函数f（x）的图象过点（2，-1），解得a的值，求出函数f（x）的解析式，从而得到 f^-1（x）的解析式．
（2）由f^-1（2x）＞f^-1（x²+1）可得， $\text{[math]}$ ，由此求出x的取值范围．
点评：本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，求一个函数的反函数，属于基础题．