Question

圆x²+y²=8内有一点P（1，2），AB和CD为过点P的弦．
（1）当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；
（2）若AB⊥CD，求四边形ABCD面积的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，OP⊥AB，结合直线垂直的条件可求K_AB，即可求解；
（2）设∠OPC=θ，求出点O到直线AB、CD的距离，即可求出|AB|，|CD|，表示出四边形ABCD的面积，利用三角函数，即可求得结论．

解答：解：（1）若弦AB被P平分，则OP⊥AB
∵K_AP=2，∴K_AB=-

1

2

∴直线AB方程为y-2=-

1

2

（x-1），即x+2y+5=0
（3）设∠OPC=θ，则点O到直线AB的距离d₁=|OP|sinθ=

5

sinθ
∴|AB|=2

r2-d12

=2

8-5sin2θ

同理O到CD的距离d₂=|OP|cosθ=

5

cosθ
∴|CD|=2

r2-d22

=2

8-5cos2θ

∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AB||CD|=2

8-5sin2θ

×

8-5cos2θ

=2

24+25sin2θcos2θ

=2

24+ 25 4 sin22θ

∴S_max=11，S_min=4

6

点评：本题主要考查了直线位置关系的应用，直线与圆相交关系的应用，考查三角函数在求解最值中的应用，属于中档题．