Question

定义在R上的函数f（x）=-x-x³，设x₁+x₂≤0，下列不等式中正确的序号有

①④

．
①f（x₁）f（-x₁）≤0　          
②f（x₂）f（-x₂）＞0
③f（x₁）+f（x₂）≤f（-x₁）+f（-x₂）　
④f（x₁）+f（x₂）≥f（-x₁）+f（-x₂）

Answer 1

分析：根据给出的函数解析式，直接由f（x）f（-x）的乘积判断①②的真假，利用函数f（x）=-x-x³是实数集上的减函数，结合x₁+x₂≤0，利用不等式的可加性判断③④的真假．

解答：解：由f（x）f（-x）=（-x-x³）（x+x³）=-（x+x³）²≤0，所以①正确，②不正确．
因为函数f（x）=-x-x³是R上的减函数，由x₁+x₂≤0，知x₁≤-x₂，x₂≤-x₁，
∴f（x₁）≥f（-x₂），f（x₂）≥f（-x₁），
∴f（x₁）+f（x₂）≥f（-x₁）+f（-x₂），所以③不正确，④正确．
故答案为①④．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数单调性的用法，是基础题．