题目内容
已知△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最大值．
分析：依题意，建系可求得直线AC的方程为
x+3y-3
=0，利用点到直线间的距离公式与基本不等式即可求得答案．
| 7 |
| 7 |
解答：
解：∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b=
=
，
设点P（0，m）（0＜m＜
），
∵直线AC的方程为
+
=1，即
x+3y-3
=0，
∴点P（0，m）到直线
x+3y-3
=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d=
=
|m-
|=
（
-m），
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）=m•
（
-m）≤
•(
)2=
•
=
（当且仅当m=
时取“=”）．
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为
．
解：∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，依题意，作图如下：BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b=
| 42-32 |
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设点P（0，m）（0＜m＜
| 7 |
∵直线AC的方程为
| x |
| 3 |
| y | ||
|
| 7 |
| 7 |
∴点P（0，m）到直线
| 7 |
| 7 |
|3m-3
| ||||
|
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 3 |
| 4 |
| 7 |
又点P（0，m）到BC的距离为m，
∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）=m•
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 3 |
| 4 |
m+(
| ||
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
| 21 |
| 16 |
| ||
| 2 |
∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为
| 21 |
| 16 |
点评：本题考查点到直线的距离公式，着重考查基本不等式的应用，考查转化与运算能力，属于中档题．
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