题目内容

对于函数① $数学公式$ ，② $数学公式$ ，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是

A.
①
B.
②
C.
①③
D.
①②

D
分析：①函数可用导数求出在（1，2）上是增函数，②函数是|log2^x|与- $\text{[math]}$ 的和函数，且两者在区间（1，2）上均是增函数，知 $\text{[math]}$ 是增函数．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上无数个零点．
解答：①f'（x）=4- $\text{[math]}$ ，在区间（1，2）f'（x）＞0，f（x）在区间（1，2）上是增函数．使甲为真．f（x）的最小值是-1＜0当x= $\text{[math]}$ 时取得．又f（1）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁＜ $\text{[math]}$ ；x₂=1． x₁x₂=x₁＜1，使乙为真．
②在区间（1，2），|log2^x|=log2^x，是增函数．- $\text{[math]}$ 也是增函数，两者的和函数也是增函数．使甲为真．利用信息技术f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂；0＜x₁＜ $\text{[math]}$
1＜x₂＜2．使乙为真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在区间（0，+∞）上有无数个零点．使乙为假．
故选D．
点评：要掌握好基本初等函数的单调性，以及函数零点个数的判定，用二分法求零点的近似值．

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对任意实数a，b，函数F(a，b)=

(a+b-|a-b|)．如果函数f（x）=sinx，g（x）=cosx，那么对于函数G（x）=F（f（x），g（x））．对于下列五种说法：
（1）函数G（x）的值域是[-

，2]；
（2）当且仅当2kπ+

＜x＜2(k+1)π(k∈Z)时，G（x）＜0；
（3）当且仅当x=2kπ+

(k∈Z)时，该函数取最大值1；
（4）函数G（x）图象在[

]上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍；
（5）对任意实数x有G(

+x)恒成立．
其中正确结论的序号是

（2）（4）（5）

（2）（4）（5）

对于函数f（x）=lg|x-2|+1，有下三个命题：
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③f（x+2）-f（x）在区间（2，+∞）上是增函数．
其中正确命题的序号是（　　）

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]，（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）
的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=e^x；
②f（x）=lnx；
③f（x）=x³；
④f（x）=cos

x．
其中存在“稳定区间”的函数有

（填上所有正确的序号）．

（2011•临沂二模）对于函数f（x）=

sinx+cosx，下列命题中正确的是（　　）

A．?x∈R，f（x）=2

B．?x∈R，f（x）=2

C．?x∈R，f（x）＞2

D．?x∈R，f（x）＞2

对于函数f（x）=2sinxcosx，下列选项中正确的是（　　）

A．f（x）在(

B．f（x）的最大值为2

C．f（x）的图象关于点(

D．f（x）的图象关于直线x=