Question

（2013•东城区模拟）已知函数f（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

则下列结论正确的是（　　）

A．f（x）在（0，1）上恰有一个零点

B．f（x）在（0，1）上恰有两个零点

C．f（x）在（-1，0）上恰有一个零点

D．f（x）在（-1，0）上恰有两个零点

Answer 1

分析：求导数可判函数在（0，1）和（-1，0）都单调递增，再判断f（-1），f（0），f（1）的符号，结合零点的判定定理可得答案．

解答：解：由题意可得f（0）=1，f′（x）=1-x+x²-x⁴+…+x²⁰¹²，
=

1×[1-(-x)2013]

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

，
当x∈（0，1）时，f′（x）=

1+x2013

1+x

＞0，函数f（x）单调递增，
又可得f（1）=1+（1-

1

2

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

2011

-

1

2012

）+

1

2013

＞0，
从而可得f（0）f（1）＞0，
由函数零点的判定定理可得：函数f（x）在（0，1）没有零点；
当x∈（-1，0）时，f′（x）=

1+x2013

1+x

＞0，函数f（x）单调递增，
又可得f（-1）=1-1-

1

2

+（-

1

3

-

1

4

）+…+（-

1

2011

-

1

2012

）-

1

2013

＜0，
从而可得f（0）f（-1）＜0，
由函数零点的判定定理可得：函数f（x）在（-1，0）上有零点，且唯一一个．
故选C

点评：本题考查函数零点的判断，涉及导数的应用和等比数列的求和公式，属中档题．